Содержание

Геометрические орнаменты и символы «страны городов» как универсальный язык описания мира

В эпоху бронзы 3–4 тыс. лет назад население Евразийских степей состояло из многих народов, говоривших на индоевропейских языках. Политическим, хозяйственным и сакральным центром степной зоны были степи Южного Урала. Именно здесь, к востоку от Уральских гор, в районе многочисленных месторождений медных руд, в XIX–XVI вв. до н.э. располагалась «Страна городов». Укрепленные центры «Страны городов» были найдены большей частью по аэрофотоснимкам. Самый известный из них Аркаим имеет форму двух вписанных друг в друга кругов, пространство между которыми разбито на отдельные секторы. Среди укрепленных центров «Страны городов» есть круглые, как Аркаим, есть овальные, квадратные и ромбовидные. Не вызывает сомнения, что древние строители специально придавали своим сооружениям правильную геометрическую форму.

В эпоху бронзы геометрическая символика пронизывала всё, что делал человек. От степных культур эпохи бронзы до нас не дошло произведений изобразительного искусства – ни рисунков, ни барельефов. Очень редко на сосудах эпохи бронзы можно увидеть схематические изображения антропоморфного или зооморфного характера. Можно предполагать, что к этому же времени принадлежит и несколько каменных скульптур, найденных в Южном Зауралье и Северном Казахстане. Однако эти немногочисленные изображения так сильно разнятся между собой, что можно уверенно утверждать – степные культуры эпохи бронзы не практиковали изобразительное искусство в качестве сколько-нибудь развитого вида деятельности.
 
Отсутствие реалистичных изображений как бы компенсировалось широчайшим применением геометрической символики. Развернутые в орнамент, эти символы покрывают практически все керамические сосуды, они встречаются на соплах, пряслицах, литейных формах, бронзовом оружии и украшениях. Едва ли можно сомневаться, что геометрическая символика покрывала и многие предметы, не дошедшие до нас в силу недолговечности своего материала, и в первую очередь – одежду.
 
Для древних культур было характерно целостное восприятие мира как определенной системы, имеющей свое начало и конец, свой смысл. Отношения с миром строились не по принципу «Я–Оно», как в современной культуре, а по принципу «Я–Ты». Человек мыслил себя как микромодель мира и находился с миром в постоянном взаимодействии.
 
Взаимодействие с миром предполагало постоянное создание моделей мира. Именно геометрические символы, благодаря стандартности и относительной простоте, обеспечивали стабильность и заданную точность в моделировании мировых сил и структур.
 
Геометрический код оптимально подходил для создания универсальных схем, подчеркивающих единство различных сфер бытия. Геометрические символы описывали структуру Космоса в его вертикальном и горизонтальном аспектах.
 
Вероятнее всего, геометрические символы, дошедшие до нас, представляют собой фрагменты универсального языка описания мира. Толкование геометрической символики как универсального знакового комплекса помогает понять, почему степные культуры могли на протяжении тысячелетий удовлетворяться в области изображений лишь этим способом моделирования мира.
 
В древней архитектуре геометрические символы воплощались не только в протогородах, но и в погребальных комплексах. Погребальная площадка окружалась, как правило, круглым рвом. Вдоль этого рва по кругу располагались периферийные могильные ямы, а в центре находились одна или две крупные центральные могильные ямы прямоугольной формы. Получившаяся фигура напоминала квадрат, вписанный в круг – древнеиндийскую мандаллу – символ всего мироздания.
 
Когда геометрические символы объединяли в ритмическом порядке, получался геометрический орнамент. Главное в орнаменте – это тот ритм, который связывает все его части. Орнамент как искусство порядка организует вещи нашего практического мира. Он соотносит целое с его частями, членит аморфное, не имеющее собственной структуры.
 
Орнамент поднимает предмет над ограниченностью его практического назначения, делает носителем некого общего принципа, малой моделью гармоничного мирового порядка. Он наделяет вещь своей способностью генерировать ритмы Времени, зримо воплощать глубинные представления своей эпохи о структуре мира
 
Всеобщая вписанность и сопряженность элементов орнамента вторит древней идее связанности всех проявлений бытия.
 
Чаще всего в эпоху бронзы геометрическая символика встречается в орнаментации керамических сосудов. Сосуд вообще занимал совершенно особое место в древней культуре. Он выступал, с одной стороны, как микромодель мира, с другой – как модель или даже заменитель тела человека. В большинстве индоевропейских языков, как и в русском, части сосуда называются в соответствии с наименованиями частей человеческого тела – шейка, плечо, ручка, тулово. Одновременно всякой части сосуда соответствовали и представления об определенной зоне мироздания. Так, в одном из древнеиндийских текстов каждая часть трехчастного ритуального сосуда сравнивается с одним из трех миров, составляющих вселенную.
 
Орнамент на сосуде располагался в соответствии с представлениями о связанности отдельных частей сосудов с разными мирами. На каждую часть сосуда наносился свой орнамент. Для того, чтобы не допустить смешения разных орнаментальных зон, их разделяли специальными полосками из прямых линий, насечек, рядов вдавлений или лепными валиками.
 
Для всех степных культур при господстве ритмичного геометрического орнамента характерно наличие на керамике отдельных геометрических значков и их групп, не образующих ритмические ряды. Эти значки, возможно, имеют специализированный магический характер.
 
В каких-то случаях они могут являться зачатками письменности – той первоначальной письменности, посредством которой скорее совершают магические действия, общаются с мировыми силами, чем с другими людьми.
 
В эпоху бронзы была распространена и геометрическая символика на орудиях и украшениях. В степях широко представлены орнаментированные костяные псалии – принадлежности конской упряжи. Достаточно часто отдельные геометрические знаки встречаются на каменных литейных формах. Металлургический процесс мыслился как мистическое преобразование одного вещества мира в другое, и поэтому особенно «оформлялась» его сакральная составляющая.
 
Наличие общих принципов в структуре геометрического орнамента на сосудах, в наборе исходных элементов, технике нанесения орнамента и стилистических особенностях изображения всегда позволяют уверенно отличать орнаменты эпохи бронзы от орнаментов неолита-энеолита или от орнаментальных комплексов эпохи кочевников.
 
Не менее четко резные и штампованные геометрические орнаменты степей можно отделить от рисованных геометрических и растительных орнаментов южных культур эпохи бронзы и, сохранивших неолитические традиции, орнаментов лесной зоны.
 
Поскольку геометрические символы являлись универсальным знаковым комплексом для степных культур эпохи бронзы, общность этого универсального языка для описания мира должна была определяться общностью представлений о мире.
 
Общность представлений о мире не обязательно выражалась через близость основных мифологических сюжетов. С содержательной стороны мифы разных народов могут существенно различаться, однако, несмотря на это, они все же будут отражать общие принципы единой концепции мира, или, скорее, быть носителями единого чувства мира.
В современной науке часто принято считать, что текст основного космогонического мифа задавал все главные культурные реальности. Исследователи зачастую даже определяют миф как одну из первых человекообразующих машин. Однако не только и не столько миф творил человека, сколько человек творил и творит миф. Поэтому основной космогонический текст культуры мог быть полностью изменен, а сущность отношения к миру и восприятия мира человеком оставалась неизменной.
 
Самое сложное в работе с древними геометрическими символами – это найти их смысл. Тексты практически не донесли до нас информации о том, какой конкретный смыл вкладывали люди определенной культуры в тот или иной символ. У исследователей часто возникает желание перенести на древние символы какие-то современные представления или представления других культур. Так появляются утверждения о том, что крест в орнаментации означает солнце, круг – небо, а зигзаг – воду. Для одной культуры такая трактовка может быть правильна, а для другой – не иметь ничего общего с действительностью. Поэтому мы сознательно не пытаемся определить здесь смысл каких-либо символов.
 
Только длительные исследования, возможно, помогут в будущем дать ответ на вопрос о смысле древней символики Евразийских степей. И, очевидно, лучшим полем для таких исследований является Южное Зауралье. Древняя культура, оставившая в наших степях после себя укрепленные центры «Страны городов», полностью выстраивала свою жизнь в соответствии с представлениями о структуре мироздания. Именно поэтому она, единственная из всех, создала в степи огромные геометрические символы – свои города, которые можно до сих пор наблюдать с высоты птичьего полета.

Dubna-2014: Г.Ю. Панина

Dubna-2014: Г.Ю. Панина

Торические многообразия. Введение в алгебраическую геометрию

Г. Ю. Панина планирует провести 4 занятия.

Торическое многообразие — (относительно) простой пример алгебраического многообразия. На нем хорошо видны многие алгебро-геометрические объекты: пучки, сингулярности, дивизоры, теория пересечений…

Кроме того, теория торических многообразий связывает алгебраическую геометрию и геометрию (с акцентом на комбинаторику) выпуклых многогранников. Все, что происходит на уровне многогранников, можно перевести на алгебро-геометрический язык, и наоборот (см. программу ниже). Это современная математика, уже успевшая стать классической.

Программа курса
  1. Аффинные алгебраические множества. Соответствия «точка — максимальный идеал» и «неприводимое множество — простой идеал». Конструкция «конус — алгебра полиномов Лорана — аффинное торическое многообразие». Уже интересно, т.к. становятся видны сингулярности многообразия.
  2. Склеиваем многообразие из аффинных карт. Соответствие «многогранник — веер — торическое многообразие». Примеры: проективная прямая, проективная плоскость (видите, не так уж и страшно), поверхность Хирцебруха. Появляется структурный пучок.
  3. Тор и его действие. Инвариантные подмногообразия. Соответствие «грани многогранника — инвариантные подмногообразия».
  4. Раздутие точки на алгебраическом многообразии.
    Соответствие «раздутие — измельчение веера — отрезание уголка многогранника».
  5. Пучки модулей на торическом многообразии. Соответствия «многогранник — обратимый пучок», «целая точка многогранника — глобальное сечение пучка», «сумма Минковского — тензорное произведение пучков». В этой связи абсолютно естественно появляются виртуальные многогранники.
  6. Теория пересечений. Смешанные объемы, соответствия «смешанный объем — индекс пересечения», «неравенство Александрова-Фенхеля для смешанных объемов — неравенство Ходжа для индексов пересечения». Теорема Бернштейна–Кушниренко о числе корней системы полиномиальных уравнений.

От слушателей требуется владение понятиями «коммутативное кольцо», «идеал», «фактор», «поле», «гомоморфизм», «действие группы», «орбита», «проективная плоскость», «комплексные числа».

«НА БОЛЬШОЙ ТРАССЕ ЖИЗНИ» ГРАФИЧЕСКИЙ ЯЗЫК ШЕСТИДЕСЯТЫХ ГОДОВ XX ВЕКА

На большой трассе жизни

Графический язык шестидесятых годов XX века

В советский период в Латвии были созданы выдающиеся произведения графики. Выставка «На большой трассе жизни. Графический язык шестидесятых годов ХХ века» даёт возможность познакомиться с предметным миром 1960-х годов, который великолепно характеризует новые эстетические идеалы общества того времени – практически во всех областях декоративно-прикладного искусства доминирующим стал «линейно-геометрический» стиль. Изменение идеалов во многом определили высокие темпы роста экономики, в том числе развитие лёгкой промышленности, освоение космоса и научно-технический прогресс.

Как известно, именно в 1960-х годах в СССР и, разумеется, в Латвии в промышленной отрасли заметно возросла значимость профессии художника-оформителя. Взаимодействуя с инженером-конструктором и технологом, используя современные материалы, он должен был создавать образцы высокохудожественной продукции широкого потребления, которые бы отвечали требованиям массового производства, мировым стандартам и актуальным веяниям моды. Столь же высокие критерии предъявлялись и к прикладной графике. Стало актуальным предлагать единый пакет графического оформления – «рождаются» фирменные знаки многих предприятий и магазинов, разрабатывается дизайн упаковок, что способствовало увеличению узнаваемости продукции и её производителя. Для бытовых предметов этого десятилетия характерны неординарные формы, которые дополнялись яркими сочетаниями цветов с использованием редуцированного до минимума, стилизованного геометрического орнамента.

В равной степени упомянутые выше тенденции нашли своё отражение в изделиях из керамики, фарфора и текстиля 1960-х годов. В композициях произведений широко применялся выразительный линейный рисунок, служивший для передачи абстрагированных образов природы. Такой поворот, несомненно, стал возможным благодаря изменению политического климата в СССР – так называемой «хрущёвской оттепели», которая предоставила художнику относительно более широкую амплитуду для творческого самовыражения во всех отраслях искусства.

Предметы декоративного искусства, образцы графического дизайна, авторские эскизы, тиражированные полиграфические издания, плакаты, открытки и фотографии интерьеров убедительно доказывают наличие в 1960-е годы особого «линейно-геометрического» графического языка, его проникновение во все сферы повседневной жизни человека, а также проявление практически в любом направлении художественного творчества. Многочисленные экспонаты выставки представляют собрания Музея декоративного искусства и дизайна, Латвийского музея архитектуры, фондов отделений керамики и текстильного искусства, а также Информационного центра Латвийской академии художеств, Латвийской национальной библиотеки, Объединения культурных учреждений рижского самоуправления, Государственного архива Латвии и частных коллекций, а также Даугавпилсского Арт-центра им. Марка Ротко.

Рабочая группа выставки – Ирена Бужинска, Сандра Крастиня, Илзе Мартинсоне, Валдис Виллеруш, Илиана Вейнберга.
Выставку поддерживают Государственный фонд культурного капитала и Департамент образования, культуры и спорта Рижской думы.

Арт-центр им. Марка Ротко в Даугавпилсе Арт-центр им. Марка Ротко в Даугавпилсе Арт-центр им. Марка Ротко в Даугавпилсе

Является ли геометрия языком, который знают только люди?

Продолжая исследования, исследователи попытались воспроизвести поведение людей и бабуинов с помощью искусственного интеллекта, используя модели нейронных сетей, основанные на основных математических представлениях о том, что делает нейрон и как нейроны связаны между собой. Эти модели — статистические системы, основанные на многомерных векторах, матрицах, умножающих слои чисел на слои — успешно соответствовали производительности бабуинов, но не людям; им не удалось воспроизвести эффект регулярности.Однако, когда исследователи создали усиленную модель с символическими элементами — модель получила список свойств геометрической правильности, таких как прямые углы, параллельные линии — она очень точно воспроизвела человеческую работу.

Эти результаты, в свою очередь, поставили задачу искусственному интеллекту. «Мне нравится прогресс в области искусственного интеллекта, — сказал доктор Дехэн. «Это очень впечатляет. Но я считаю, что здесь отсутствует один глубокий аспект — обработка символов», то есть способность манипулировать символами и абстрактными понятиями, как это делает человеческий мозг.Это тема его последней книги «Как мы учимся: почему мозги учатся лучше, чем любая машина… пока».

Йошуа Бенжио, ученый-компьютерщик из Университета Монреаля, согласен с тем, что современному ИИ не хватает чего-то, связанного с символами или абстрактным мышлением. Работа доктора Деэна, по его словам, представляет «доказательства того, что человеческий мозг использует способности, которые мы еще не находим в современном машинном обучении».

Это особенно верно, сказал он, когда мы комбинируем символы при составлении и перекомпоновке частей знания, что помогает нам обобщать.Этот пробел может объяснить ограничения ИИ. — например, беспилотный автомобиль — и негибкость системы при столкновении с окружающей средой или сценариями, которые отличаются от тренировочного репертуара. И это указание, сказал д-р Бенжио, на то, где А.И. исследование должно пройти.

Доктор Бенжио отметил, что с 1950-х по 1980-е годы стратегии обработки символов доминировали в «старом добром ИИ». Но эти подходы были мотивированы не столько желанием воспроизвести способности человеческого мозга, сколько логическими рассуждениями (например, проверка доказательства теоремы).Затем появился статистический ИИ. и революция нейронных сетей, начавшаяся в 1990-х и набравшая обороты в 2010-х. Доктор Бенжио был пионером этого метода глубокого обучения, который был непосредственно вдохновлен сетью нейронов человеческого мозга.

Его последнее исследование предлагает расширить возможности нейронных сетей, обучая их генерировать или представлять символы и другие представления.

Нет ничего невозможного в том, чтобы делать абстрактные рассуждения с помощью нейронных сетей, сказал он, «просто мы еще не знаем, как это делать.У доктора Бенжио есть крупный проект, согласованный с доктором Дехане (и другими нейробиологами), чтобы исследовать, как вычислительные мощности человеческого сознания могут вдохновлять и поддерживать ИИ следующего поколения. «Мы не знаем, что сработает и каким будет, в конце концов, наше понимание того, как мозг это делает», — сказал доктор Бенжио.

Быстрое понимание геометрических примитивов и правил у взрослых людей и дошкольников

Заявление об этике.

Эксперименты были одобрены региональным этическим комитетом (Comité de Protection des Personnes, Hôpital de Bicetre), и участники дали информированное согласие.

Участники.

Участниками были 23 взрослых француза (12 женщин, средний возраст = 26,6, возрастной диапазон = 20–46) с высшим образованием.

Процедура.

Эксперимент был организован короткими блоками. В каждом блоке испытуемым предъявлялась определенная последовательность пространственных локаций, которую их просили продолжить. На экране компьютера постоянно были видны восемь возможных мест, образующих симметричный восьмиугольник (рис. 1Б). В данном испытании места, образующие начало выбранной последовательности, последовательно мигали, а затем последовательность останавливалась.Задача испытуемого заключалась в том, чтобы угадать следующую локацию, нажав на нее. Пока субъект нажимал на правильное место, его просили продолжить со следующего. В случае ошибки последовательность запускалась сначала: снова прошивалась вся последовательность локаций, ошибка исправлялась, испытуемому снова предлагалось предсказать следующую локацию. Для каждой последовательности процедура инициировалась показом только первых двух элементов. Таким образом, начиная с позиции 3

rd в последовательности, испытуемым давали единственную возможность рискнуть предположить на каждом этапе.Чтобы представить задачу, участникам всегда сначала предъявлялась «повторяющаяся» последовательность мест, вращающихся по часовой стрелке или против часовой стрелки. Порядок последующих последовательностей был случайным.

Стимулы.

В каждом блоке была представлена ​​пространственная последовательность, состоящая из последовательности 16 местоположений. Эти последовательности показаны синими и зелеными метками на рис. 1C. Всего каждому участнику было представлено два «повторения», два «чередования» и два «двойных квадрата», каждый из которых охватывает два направления вращения вокруг восьмиугольника.Также были представлены две «2 дуги», четыре «4 сегмента» и одна «4 диагонали», чтобы проверить понимание всех четырех осевых симметрий и вращательной симметрии. В этих случаях направление вращения было случайным. Один экземпляр «2прямоугольников» и один из «2крестов» также были выбраны случайным образом. Наконец, среди 768 последовательностей максимальной сложности случайным образом были выбраны две неправильные последовательности. Начальная точка каждой последовательности выбиралась случайным образом среди подмножества восьми местоположений восьмиугольника, которые сохраняли глобальную форму.

Статистический анализ.

Данные представляли собой дискретную меру выполнения (правильная или ошибочная) для каждого субъекта, каждого элемента последовательности и каждого порядкового номера от 3 rd до 16 th . Поскольку эти данные были дискретными (даже после усреднения производительности по подмножеству последовательностей или порядковым точкам данных), мы использовали непараметрический критерий Фридмана для парных данных (непараметрический критерий, аналогичный параметрическому дисперсионному анализу с повторными измерениями). При необходимости мы использовали поправку Бонферрони для множественных сравнений (по 14 точкам данных для образованных взрослых, по 8 точкам данных для других испытуемых).Чтобы количественно оценить эволюцию производительности с течением времени, мы рассчитали для каждого субъекта ранговую корреляцию частоты ошибок Спирмена с порядковым номером и сравнили средний коэффициент корреляции с 0, используя t-критерий Стьюдента. Когда изменение производительности с течением времени оценивалось по небольшому количеству порядковых позиций (3 или 5, как это происходит в экспериментах 2–4), мы использовали критерий Фридмана для нескольких условий. Наконец, всякий раз, когда нам нужно было сравнить производительность между группами испытуемых при определенном условии (например,грамм. взрослых и детей, как это будет происходить в эксперименте 2), учитывая, что у нас были дискретные измерения (верные или ошибочные), мы использовали точный критерий Фишера, когда количество измерений на одного испытуемого равнялось 1 или 2; и критерий суммы рангов Уилкоксона для независимых выборок при сравнении средних значений 3 или более условий.

Были проведены специальные запланированные сравнения, чтобы точно изучить понимание иерархической структуры последовательности. Например, в «4 сегментах» четные точки данных соответствуют применению уровня 1 st , более мелкого уровня регулярности (осевой симметрии), в то время как нечетные точки данных являются результатом изменения начальной точки и, таким образом, представляют собой более глубокая регулярность уровня 2 и , которая включает несмежную временную зависимость (испытуемые должны помнить начальную точку подпоследовательности из 2 элементов).Следовательно, сравнение производительности по таким точкам данных дает информацию о представлении вложенных правил в нашей парадигме.

Результаты.

В качестве основы мы сначала исследовали производительность с «неправильными» последовательностями из 8 элементов, которые не содержали очевидной геометрической регулярности. Эволюция средней производительности в двух последовательных повторениях показана фоновой серой кривой на всех панелях рис. 2. Средняя частота ошибок снижалась в ходе испытаний (корреляция среднего ранга частоты ошибок с порядковым номером: ρ = -0.51 ± 0,05, t-критерий Стьюдента: t 22 = 10,3, p <7,10 -10 ). Это улучшение можно разложить на два вклада: механическую память и предвосхищение. Во-первых, производительность была лучше во второй половине каждого блока, т. е. при повторении последовательности, чем в первой половине, когда последовательность вводилась, что указывает на механическую память (критерий Фридмана: F = 15,7, p<10 −4). ; поточечное сравнение выявило значительную разницу во всем, кроме последнего местоположения, p s <0.05). Во-вторых, производительность улучшилась даже в первой половине, даже до того, как была представлена ​​полная последовательность (ожидание; r = -0,4 ± 0,08, t-критерий Стьюдента: t 22 = 5,1, p <4,10 -5 ). Этот вывод указывает на то, что испытуемые воспользовались тем фактом, что 8 мест были выбраны без замены, что сузило выбор оставшихся мест. Тем не менее, память на прошлые местоположения не была идеальной, о чем свидетельствует тот факт, что результаты по точкам данных 7 и 8 оставались хуже ожидаемого уровня вероятности, если испытуемые полностью избегали прошлых мест (соответственно 85 ± 6% против 50% и 54 ± 8%). по сравнению с 0% ошибок; Одновыборочные знаковые ранговые критерии Уилкоксона: оба p s < 0.001).

Рис. 2. Показатели взрослых участников эксперимента 1.

Верхние панели показывают эволюцию частоты ошибок на последовательных этапах (точки данных 3–16 для взрослых) для каждой регулярной последовательности (планки ошибок = 1 стандартная ошибка среднего). Серая кривая на заднем плане показывает частоту ошибок для нерегулярных последовательностей, которые служат базой. Нижние панели показывают процент ответов в данном месте для каждой точки данных. Белые точки указывают правильное расположение. Вертикальные пунктирные линии отмечают переход между двумя подпоследовательностями из 8 элементов, которые составляют полные последовательности из 16 элементов.

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1005273.g002

Нерегулярные последовательности служили базой для сравнения других регулярных последовательностей. В каждой регулярной последовательности средняя частота ошибок была значительно ниже, чем в нерегулярной базовой линии («повторение»: 2,5 ± 0,9%; «чередование»: 25,5 ± 4%; «2 дуги»: 15 ± 1,4%; «2 квадрата»: 23,5). ± 3,7 %; «4 сегмента»: 15 ± 1,4 %; «4 диагонали»: 27 ± 4 %; «2 прямоугольника»: 38 ± 3,2 %; «2 креста»: 27,5 ± 3,2 %; «неправильные»: 59,5 ± 3,8 %; Фридман. тесты, все p s <0.001). Более того, в каждом случае участники показали значительно лучшие результаты, чем исходные, даже до полной презентации последовательности из 8 элементов (усредненная частота ошибок точек данных 6–8 для «повторения»: 0%; «альтернативного»: 19,6 ± 6,1%; «2 дуги»: 8 ± 2,1 %, «2 квадрата»: 16,7 ± 5 %, «4 отрезка»: 4 ± 2 %, «4 диагонали»: 17,4 ± 4,7 %, «2 прямоугольника»: 33,3 ± 5,2 %, «2 креста»: 18,8 ± 5,2 и «нерегулярные»: 69,6 ± 3,8%, все р с <10 -4 ).

Таким образом, регулярность последовательности способствовала как механической памяти, так и предвидению.Важно отметить, что, как и предсказывалось, эти эффекты были зафиксированы нашей мерой сложности: средняя частота ошибок сильно коррелировала с K в последовательностях (для всех точек данных: ρ Спирмена = 0,75 ± 0,04, t-критерий Стьюдента: t 22 = 21 , p < 10 −11 , для точек данных 6–8: ρ = 0,73 ± 0,04, t 22 = 21, p < 10 −9 , рис. 3, верхняя панель). Кроме того, сложность нашего языка давала лучшее описание поведения взрослых, чем альтернативные стратегии кодирования, которые не использовали геометрические особенности, такие как повороты и симметрии, а использовали только расстояние между последовательными местоположениями.Были вычислены два варианта сложности последовательности, лишенные геометрического содержания: нормированная длина прыжка, измеряющая среднее расстояние между точками в последовательности, усредненное по количеству прыжков; и сложность деградировавшего языка, где примитивы были только ±1, ±2, ±3, +4 и повторение (S1 Fig). В обоих случаях наблюдались явные выбросы (например, сложность для «4 сегментов» во втором случае достигла максимального значения 16, что не согласуется с данными). Более того, корреляция этих показателей с общей частотой ошибок была значительно ниже, чем у полного языка (нормализованная длина перехода ρ = 0.60 ± 0,03, t(44) = 3,23, р = 0,003; сложность в деградированном языке: ρ = 0,51 ± 0,03, t(44) = 4,88, p < 10 −4 ).

Рис. 3. Сложность предсказывает частоту ошибок.

Для каждой последовательности ось y представляет среднюю частоту появления ошибок, а ось x — сложность последовательности, измеряемую минимальной длиной описания. На панелях показаны данные взрослых французов (вверху, эксперимент 1), детей дошкольного возраста (в центре, объединение экспериментов 2 и 3) и подростков и взрослых мундуруку (внизу, эксперимент 4).Для каждой группы также строится линия регрессии и отображается коэффициент корреляции Спирмена. У французских детей и взрослых мундуруку «4 диагонали» и «2 креста» являются явными выбросами — как объясняется в основном тексте, регрессию можно улучшить, если предположить, что их «язык мысли» не включает вращательную симметрию P.

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1005273.g003

Затем мы изучили структуру ошибок в каждой регулярной последовательности.Неудивительно, что для «повторной» последовательности, которая состояла только в повторном применении правила +1 или -1, все коэффициенты ошибок приближались к 0 и были намного ниже исходного уровня (все p s < 0,001 с поправкой). Тот факт, что испытуемые уже могли завершить последовательность, увидев только первые два элемента, говорит о том, что они быстро распознавали и применяли примитивы +1 и -1 и рассматривали повторение как допущение по умолчанию.

Для «альтернативного», после систематической ошибки в точке данных 3 rd (частота ошибок = 95%), частота ошибок постоянно уменьшалась в течение первой половины последовательности (средний коэффициент корреляции: ρ = -0.68 ± 0,06, t-критерий Стьюдента: t = 11,8, p < 5,10 -11 ) и упал до 15 ± 6% в точке данных 7 th . Несмотря на то, что «альтернативный» вызывал больше ошибок, чем «повторный» (в целом: F = 23, p < 10 -6 ), производительность была значительно лучше, чем «нерегулярный» (все p с < 0,05 скорректированы, за исключением 3). й и 5 й точек данных). Таким образом, хотя «альтернировать» было сложнее, чем «повторить», участники смогли определить и объединить правила +1 и +2.

Для «2 дуг» и «2 квадратов» профили производительности были схожими. Во всех точках данных, кроме 5 th , 9 th , 13 th и 16 th , частота ошибок была значительно ниже базовой линии (все p s <0,05 с поправкой). Точки данных с высокой производительностью соответствуют применению правила самого низкого уровня (+1 для «2 дуг» и +2 для «2 квадратов»), что свидетельствует о том, что это поверхностное правило было быстро усвоено. Напротив, точки данных 5, 9 и 13, соответствующие применению правила более высокого уровня, показали больше ошибок, чем их соседи (критерий Фридмана: F = 23, p = 2.10 −6 ). В точке данных 5 частота ошибок не была значительно ниже нерегулярной базовой линии в «2 квадратах» и была даже хуже, чем базовая линия в «2 дугах» (частота ошибок в 5 точке данных в «нерегулярной»: 70 ± 6 %). ; «2 дуги»: 91 ± 4 %, F = 6,23, p = 0,013; «2 квадрата»: 76 ± 8 %, F = 0,69, p = 0,41). Ошибки на этом этапе заключались прежде всего в продолжающемся применении правила более низкого уровня. Однако важно отметить, что производительность по точкам данных 5, 9 и 13 со временем улучшилась («2 дуги»: критерий Фридмана: F = 37, p < 9.10 −9 ; «2 квадрата»: F = 18,6, p < 9,10 -5 ), а частота ошибок в точках данных 13 значительно снизилась по сравнению с исходным уровнем в «2 дугах» (с поправкой p < 0,05), что указывает на то, что испытуемые в конечном итоге выучили как 1 st , так и 2 правила уровня и .

Для «4 сегментов» частота ошибок упала значительно ниже исходного уровня для всех точек данных (все p с < 0,001 с поправкой), кроме точек 3 и 9. В каждом блоке из 8 элементов частота ошибок быстро и непрерывно снижалась до 0 (ранг корреляции для 1-й половины: ρ = -0.82 ± 0,02, t 22 = 36,4, р < 0,001; и 2 й половина: ρ = -0,62 ± 0,04, t 22 = 15,8, p = 2,10 -13 ). Эти результаты показывают, что правила уровня 1 st и 2 nd , формирующие последовательность «4 сегмента», легко идентифицируются и применяются. Отдельные анализы показали, что средняя частота ошибок была одинаковой для горизонтальной, вертикальной и наклонной симметрии (вертикальная: 11,5 ± 1,6%; горизонтальная: 16,1 ± 2,8%; косая: 16,8 ± 2,1% и 15,5 ± 2).5%; Критерий Фридмана для различий между четырьмя типами симметрии: F = 4,3, н.с.). Таким образом, взрослые участники легко идентифицировали все осевые симметрии.

Показатели «четырех диагоналей» показали, что вращательную симметрию было труднее идентифицировать, чем другие симметрии (сравнение «четырех диагоналей» и «четырех сегментов»; соответственно 27,3 ± 4% против 15 ± 1,4% ошибок, F = 7,3, p = 0,007). Пилообразный рисунок (рис. 2) показал, что четные точки данных имели систематически более низкую частоту ошибок, чем нечетные (критерий Фридмана: F = 18, p < 3.10 −5 ), предполагая, что применение вращательной симметрии (правило уровня 1 st ) было проще, чем применение вращения начальной точки (правило уровня 2 nd ). Даже точки данных показали частоту ошибок значительно ниже, чем исходный уровень (все p с <0,02, p с <0,001 с поправкой, за исключением точек данных 10, 14 и 16). Напротив, нечетные точки данных не демонстрировали никакой разницы с исходным уровнем, что еще раз свидетельствует о том, что правило уровня 2 nd было труднее понять, чем правило уровня 1 st .Тем не менее, со временем наблюдалось небольшое, но значительное улучшение как по нечетным, так и по четным точкам данных (ранговая корреляция для нечетных точек данных: ρ = -0,4 ± 0,07, t = 5,5, p < 2,10 -5 ; ранговая корреляция для четных данных баллы: ρ = -0,39 ± 0,06, t = 7,32, p < 6,10 -11 ).

В «2 прямоугольниках», как и в «2 квадратах», точки данных 5, 9 и 13 соответствовали применению самого глубокого (3 rd -level) правила. Ни один из них не показал уровень ошибок ниже базового уровня (точка данных 5: 60.9 ± 10,6% против 69,6 ± 6,2%, F = 0,28, р = 0,6; точка данных 9: 78,2 ± 9% против 54,3 ± 8,5%, F = 4, p = 0,046; точка данных 13: 47,8 ± 10,9% против 41,3 ± 9,5%, F = 0,69, p = 0,4), и со временем не было улучшения (критерий Фридмана: F = 4,1, p = 0,13), что позволяет предположить, что участникам не удалось понять, как изменилась начальная точка прямоугольника. В непосредственно следующих за данными точках 6, 10 и 14, соответствующих построению первой стороны прямоугольника, производительность улучшилась по сравнению с точками 5, 9 и 13 (соответственно 46 ± 7 % vs 62 ± 5 % ошибок, F = 2.88, p = 0,089), хотя он все еще не был значительно ниже исходного уровня (F s <0,5, p s > 0,4). В последующих точках (7, 8, 11, 12 и 15, 16) частота ошибок еще больше улучшилась (14 ± 4% ошибок, сравнение Фридмана с правилом уровня 3 rd : F = 22, p < 3,10 — 6 ) и стал значительно ниже исходного уровня (все p s <0,05 с поправкой), указывая на систематическое изучение правил уровня 1 st и 2 nd , которые позволяли заполнять прямоугольник.

Наконец, для «2крестов» профиль производительности напоминал профиль «4диагоналей»: в четных точках данных частота ошибок была систематически ниже, чем в исходном состоянии (все p s < 0,03 скорректированы, за исключением 14 th точек данных). ) и в целом ниже, чем частота ошибок в нечетных точках данных (F = 10,7, p = 0,001), что указывает на то, что участники легко определили самое поверхностное правило. Наблюдались дополнительные доказательства трехуровневой организации. Частота ошибок была значительно выше в точках данных 5, 9 и 13, соответствующих начальной точке пересечения (правило уровня 3 rd , 41 ± 7% ошибок), чем в точках данных 7, 11 и 15, соответствующих начальная точка второй ветви креста (2 й — уровень правила 26.1 ± 7% ошибок, сравнение Фридмана между уровнями 2 и и 3 и : F = 4,45, p = 0,035). Между точками данных 5, 9, 13 и 7, 11, 15 в «4 диагоналях» такой разницы не наблюдалось (F = 1,9, p = 0,17). В точках данных 7, 11 и 15 частота ошибок, в свою очередь, была значительно выше, чем в последующих точках данных 8, 12 и 16, что соответствует завершению кросса (правило уровня 1 st , 4,35 ± 3,3% ошибок, Сравнение Фридмана между уровнями 1 st и 2 nd : F = 5.33, р = 0,021). В точках данных 6, 10 и 14, соответствующих построению первой ветви креста (ошибки 17,4 ± 5,2 %), частота ошибок также была значительно ниже, чем в точках данных 5, 9 и 13 (F = 9,3, p = 0,002). Наконец, в точках данных 3, 5, 11 и 15 частота ошибок не была значительно ниже исходного уровня. Таким образом, правила уровней 2 nd и 3 rd , хотя со временем и были выучены, понять было труднее. чем правило уровня 1 st .

Обсуждение.

Взрослые могли обнаруживать различные геометрические закономерности и быстро делать обобщения на основе всего лишь нескольких элементов, прежде чем увидеть всю последовательность. Они правильно продлевали каждую последовательность и ошибались именно в тех точках, где прошлые подсказки не позволяли им угадать запрошенное правило (точка данных 3 в «альтернативном», «4 сегмента», «4 диагонали», «2 прямоугольника» и «2 креста»; точка данных 5 в «2 дуги», «2 квадрата», «2 прямоугольника» и «2 креста», а точка данных 9 в «4 сегмента»). В большинстве таких случаев систематические ошибки указывали на то, что испытуемые систематически продолжали применять правило более низкого уровня.Например, в «2squares» участники привыкли к последовательности правил +2 и продолжали применять ее в точке данных 5 th . В других случаях, когда предыдущие точки образовывали подпоследовательность, которая, казалось, подошла к концу (например, после первых «4 точек» в «2 прямоугольниках» и «2 крестах» или после первых 8 точек в «4 сегментах»), участники не удалось, потому что они не могли догадаться, как перезапустить.

Помимо этих предсказуемых ошибок, наши результаты показали, что все регулярные последовательности были изучены лучше, чем нерегулярные базовые, при этом частота ошибок существенно монотонно увеличивалась с увеличением сложности.Это открытие указывает на то, что геометрическая регулярность является основным фактором, определяющим зрительно-пространственную память в нашей задаче. Действительно, геометрические закономерности позволили участникам запомнить последовательности из 8 элементов и более, которые в противном случае превышали бы возможности их рабочей памяти (о чем свидетельствует сохранение ошибок в «нерегулярной» базовой линии).

Выступление участников дало четкие указания на тип закономерностей, которые они смогли выявить. Все примитивы, которые мы предположили, легко распознавались взрослыми испытуемыми: +1/-1 (преемник), +2/-2, а также все осевые и точечные симметрии (на что указывает превосходная производительность по четным точкам данных «4 сегмента» и « последовательности «4 диагонали»).Кроме того, участники также выявили дополнительные встроенные уровни регулярности. Выполнение с последовательностями «2 дуги», «2 квадрата», «4 сегмента» и «4 диагонали» свидетельствовало о быстром усвоении самого поверхностного правила и его повторении. Правила уровня 2 nd и 3 rd было труднее изучить, о чем свидетельствует (1) более медленное уменьшение количества ошибок для 2-го уровня, чем для 1-го уровня, и (2) сохранение ошибок во времени в точках данных. соответствует правилу уровня 3 rd в «4 диагоналях», «2 прямоугольниках», «2 крестах».По построению доказательства в поддержку этих более глубоких уровней представляются с меньшей частотой по сравнению с правилом уровня 1 st — например, в «2 дугах» и «2 квадратах» правило 2 nd уровня применяется только к одному испытанию. в четыре. Однако такие последовательности, как «4 диагонали» и «2 креста», где правила уровня 1 st и 2 nd применяются с одинаковой частотой (каждое второе испытание), правило уровня 2 nd по-прежнему вызывало больше ошибок. чем правило уровня 1 st .Таким образом, эти результаты предполагают, что более глубокие иерархические уровни действительно сложнее изучить, вероятно, потому, что они включают несмежные временные зависимости: например, в «двух дугах» или «двух квадратах» правило 2 и уровней применяется к начальной точке подпоследовательность длины 4. Другим составляющим фактором может быть пространственное расстояние в пространстве. «4 диагонали» или «2 креста», в которых расстояние между нечетными точками почти максимальное, давали максимальную частоту ошибок.

В целом эти результаты показали, что взрослые участники легко идентифицировали элементарные примитивы симметрии и вращения и быстро понимали иерархическую организацию регулярных последовательностей.Однако такие результаты, возможно, неудивительны, учитывая, что нашими испытуемыми были молодые люди с высшим образованием. В эксперименте 2 мы спрашивали, усваивают ли дошкольники, еще не получившие формального образования, геометрические правила.

Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление: единый язык для математики и физики (Фундаментальные теории физики № 5) (в твердом переплете)

259,99 долларов США

В настоящее время отсутствует на наших полках.Обычно мы можем получить для вас или отправить вам в течение 1-5 дней.

Описание


Матричная алгебра была названа «арифметикой высшей математики» Be]. Мы думаем, что основа для лучшей арифметики уже давно доступна, но ее универсальность почти не оценена, и она еще не интегрирована в основное русло математики. Мы ссылаемся на систему, обычно называемую «алгеброй Клиффорда», хотя предпочитаем название «геометрическая алгебра», предложенное самим Клиффордом.Многие различные алгебраические системы были адаптированы или разработаны для выражения геометрических отношений и описания геометрических структур. Особенно примечательны те алгебры, которые использовались для этой цели в физике, в частности, система комплексных чисел, кватемионы, матричная алгебра, векторная, тензорная и спинорная алгебры и алгебра дифференциальных форм. Каждая из этих геометрических алгебр имеет значительное преимущество перед другими в определенных приложениях, поэтому ни одна из них не обеспечивает адекватной алгебраической структуры для всех целей геометрии и физики.В то же время алгебры значительно перекрываются, поэтому они обеспечивают несколько различных математических представлений для отдельных геометрических или физических идей.

Об авторе


Дэвид Хестенесс награжден медалью Эрстеда за 2002 год. Премия Эрстеда отмечает выдающийся вклад в преподавание физики. Это самая престижная награда, присуждаемая Американской ассоциацией учителей физики.

Подробнее
ISBN: 97816736
ISBN-10: 16730
Издательство: Springer
Дата Публикация: 30 июня, 1984
Страницы: 314
Язык: Английский
Серия: Фундаментальный Theory of Physics
Категории
Родственные издания (все)

Что дети знают и должны знать о форме и пространстве

Геометрия включает в себя два основных компонента.Один рассуждает о форме . Мы узнаем, например, что треугольники должны иметь три прямые стороны и три угла, но углы могут быть узкими или широкими, а треугольники могут быть высокими или короткими, красными или синими или наклоненными любым количеством способов. Второй компонент думает о пространстве . Мы узнаем, как объекты относятся друг к другу и к нам в пространстве: мяч на диване, диван под мячом, а мы перед ними обоими.

Хотя дети точно воспринимают форму и пространство в своей повседневной среде, дошкольники в возрасте от трех до пяти лет должны научиться думать об этих темах.Наша главная образовательная цель должна заключаться в содействии пониманию основ геометрии.

Форма

Контекст и обзор

Восприятие объектов начинается вскоре после рождения. С самых ранних дней и примерно до 18 месяцев младенцы могут легко видеть различия между обычными объектами: они видят, что мать отличается от отца, а собака отличается от кошки. Младенцы могут различать типы объектов: они видят, что это тарелка, а это чашка, даже если они не знают названия каждого из них и не могут сформулировать ключевые различия между ними.Далее, младенцы могут опознавать предметы даже тогда, когда они меняют свое местонахождение: это мать независимо от того, видим ли мы ее с той или иной стороны, близко она или далеко, лежит или стоит, частично или полностью видна.

К концу младенчества восприятие объектов развито относительно хорошо, и дети относительно легко ориентируются в повседневном мире. В то же время им предстоит еще многому научиться, в частности, анализу форм, т. е. пониманию их существенных признаков.Выучить названия форм легко. Но анализировать их намного сложнее. Следовательно, основное внимание в обучении геометрии в раннем возрасте должно быть сосредоточено на анализе и понимании.

Раннее восприятие и представление о форме

В возрасте примерно трех-четырех лет дети изучают несколько аспектов форм, как двухмерных ( 2-D ), так и объемных ( 3-D ). Следующие иллюстрации в основном относятся к двумерным фигурам, но то же самое можно сказать и о твердых телах.

Восприятие различия и сходства   

Маленькие дети могут легко различать (видеть или воспринимать различия) между различными формами. Например, на вопрос, отличаются ли двумерные фигуры на рис. 1, дети быстро соглашаются, что да.

Они также могут легко различать трехмерные формы, например, между прямоугольной призмой (например, книгой) и сферой (например, шаром) или между сферой и кубом (например, блоком с шестью квадратными гранями).

Совершенно очевидно, что маленькие дети могут видеть различия между треугольниками и прямоугольниками, а также между книгами и мячами. Они могут даже знать имена , треугольник и , прямоугольник . Но в то же время они могут быть не в состоянии проанализировать основания для своей дискриминации. Они могут ничего не знать о свойствах треугольников и прямоугольников. Например, они могут не понимать, что треугольник должен иметь три стороны, что это замкнутая фигура или что обе фигуры являются многоугольниками.

Короче говоря, способность различать означает только то, что дети видят что фигуры выглядят по-разному. В то же время дети могут не знать о себе ничего важного. Нам нужно различать видение и мышление, восприятие и мышление.

А как насчет идеи того же ? Маленькие дети могут видеть, что два прямоугольника воспринимаются одинаково или идентичны ( конгруэнтны ). Они могли бы даже увидеть конгруэнтность, если бы один из прямоугольников был немного наклонен в сторону (но не слишком сильно!).На рис. 2 показан пример.

Определить одинаковость в смысле конгруэнтной формы не очень сложно для маленьких детей, которые хорошо воспринимают, по крайней мере, то, что находится на поверхности. Их восприятие во многом невербальное и непосредственное. Обратите внимание, что язык не является существенным для любого из этих суждений: дети (или животные) могут видеть, что формы идентичны, но не могут назвать их. Дети также могут давать фигурам неправильные названия, но при этом точно воспринимать сходство (и различие).Например, вы можете сказать, что стая «собак» — это одно и то же, тогда как вам следовало бы назвать их «слонами». Объекты воспринимаются как одни и те же, как бы вы их ни называли.

Рисунок 3 иллюстрирует интересную сложность. Иногда кажется, что дети не видят четкой разницы. Например, трехлетний ребенок может сказать, что фигуры на рис. 3 одинаковы, потому что обе они имеют «заостренные вершины».

Значит ли это, что ребенок не видит разницы между фигурами? Не обязательно.Ребенок, вероятно, видит различия, но думает , что формы тем не менее одинаковы. Если взрослый спросит, отличаются ли фигуры вообще, ребенок может сказать, что у одной три стороны, а у другой четыре, но они одинаковы, потому что у каждой есть «заостренная вершина». Таким образом, ребенок видит разницу в восприятии, но думает, что формы одинаковы, потому что каждая из них имеет общую вершину сверху. На самом деле ребенок совершенно прав: хотя формы различны, они одинаковы в свойстве, которое описывает ребенок.Это одна из причин опросить детей, чтобы попытаться раскрыть мышление, лежащее в основе их открытых ответов. Ребенок может сказать «одинаковые», но также понимать, что формы отличаются в другом отношении.

Классификация. Маленькие дети должны выйти за рамки восприятия сходства и различия. Они должны научиться классифицировать объекты, которые похожи (в отличие от конгруэнтных) в ключевых отношениях. Им нужно усвоить, что трехсторонние фигуры разного размера — это все треугольники; что неконгруэнтные, но подобные четырехсторонние фигуры с одинаковой длиной и прямыми углами являются квадратами; что баскетбольные мячи и глобусы — это сферы; и что блоки разного цвета могут быть кубиками.

Некоторые классификации проще для детей младшего возраста, чем другие. Например, они могут видеть, что квадраты разных размеров сочетаются друг с другом. Они могут идентифицировать прототипы, то есть стандартные общие треугольники, подобные показанным на рис. 4, независимо от их размера. Опять же, это можно сделать, не зная имен. Как бы цифры не назывались, одни идут вместе, а другие нет.

Имена. Конечно, детям нужно учить правильные имена. Имена полезны несколькими способами: они позволяют вам общаться с другими («Это треугольник.»), и они также отсылают вас к категории для анализа («Это называется треугольником, как и эти. Интересно, почему они одинаковые»). Английские названия форм немного странные, потому что многие из них происходят от греческого или латинского. Например, слово треугольник  происходит от греческого слова «три угла». Напротив, китайские имена фигур прозрачны. На китайском языке название прямоугольника переводится как «четырехсторонняя форма». Несмотря на это, геометрические названия не представляют сложности для детей. Дети дошкольного возраста знают тысячи имен, в том числе специальные имена, такие как бронтозавр, или эзотерические имена героев мультфильмов, игрушек или фигурок.Учитывая их способность усваивать язык, маленькие дети должны испытывать небольшие трудности при запоминании таких названий, как , прямоугольная призма, или , пятиугольник, . Но взрослый всегда должен помнить, что имена хотя и необходимы, но поверхностны. Дети должны научиться понимать свойства фигур, а не только то, как их сортировать или называть.

Понимание . Понимание многогранно. Дети должны научиться анализировать форм, определять определяющие их свойства и рассказывать о них.Им нужно узнать, что делает треугольник треугольником и чем треугольник отличается от квадрата. Им нужно усвоить, что квадрат является подклассом прямоугольников.

Как упоминалось выше, дети могут легко научиться классифицировать прототипы форм. Они узнают, что равносторонний, равнобедренный и прямоугольный треугольники — все это треугольники. В то же время дети могут не знать, что длинный, тонкий, разносторонний треугольник, подобный показанному на рис. 5, также является законным членом семейства треугольников и что все треугольники любого цвета могут быть маленькими или большими, вершиной к вершине. на боку или лежа на горизонтальном основании.Размер, цвет и ориентация не имеют значения, когда цель состоит в том, чтобы идентифицировать фигуры одного типа.

Основная задача ребенка состоит в том, чтобы получить четкое представление об определяющих свойствах форм.  Дети должны понимать, что у треугольника есть определенные определяющие свойства, а у квадрата — другие, и что эти формы неизменны при изменении размера, ориентации и цвета. Они также должны уметь говорить о формах; объяснить, почему треугольник является треугольником, даже если он не является прототипом.

Ограниченное понимание детьми существенных и второстепенных свойств может частично быть связано с ограниченным набором форм, которые они видят. Дети часто сталкиваются с прототипами форм в книгах и игрушках. Если в книжке с картинками представлен треугольник, он, скорее всего, будет равносторонним или равнобедренным и редко разносторонним. Игрушки для сортировки по форме также включают в себя прототипы, в данном случае трехмерные, такие как равносторонняя треугольная призма.

Учитывая, что детям редко представляют непрототипные формы, взрослым необходимо знакомить детей с ними и учить их основным свойствам, разъясняя причины, по которым одна фигура является треугольником, а другая — пятиугольником.Как и в других областях, взрослые должны помочь детям математизировать их знания о формах, то есть развить ясное представление о формальной математике. Детям необходимо научиться думать и прямо говорить о математических свойствах, таких как количество вершин и сторон, определяющих фигуру.

Составление и разложение фигур . Детям также необходимо изучить и научиться разбирать фигуры и использовать фигуры для создания других фигур. Например, если цель состоит в том, чтобы составить квадрат из двух треугольников, ребенок должен обратить внимание на внутренние углы и длины сторон треугольников.Композиция и декомпозиция способствуют анализу.

Дети могут исследовать формы, используя несколько заданий этого типа. Как показано на рисунке 6, дети могут составлять фигуры. Когда ребенок складывает вместе два квадрата одинакового размера, выравнивая их ширину, в результате получается длинный прямоугольник. Когда ребенок соединяет два одинаковых полукруга, выравнивая их диаметры, в результате получается полный круг.

Дети также могут разбирать фигуры. Как показано на рис. 7, когда ребенок делит прямоугольник по диагонали или разрезает равносторонний треугольник посередине, ребенок получает два прямоугольных треугольника.

Составление и разложение может быть очень увлекательным, независимо от того, являются ли фигуры физическими формами или компьютерной графикой, и занимается ли ребенок исследованием или решением проблемы, созданной взрослым.

Космос

Контекст и обзор

Людям (и животным тоже) необходимы базовые представления о пространстве, если они хотят адекватно функционировать в повседневном мире. По этой причине маленькие дети (даже младенцы) часто сами по себе начинают использовать или развивать основные пространственные понятия, включая представления о местоположении, относительном положении, симметрии и направлении.Некоторые пространственные навыки и идеи встроены в систему человеческого восприятия: даже младенцы демонстрируют, что могут различать близкое и далекое, когда пытаются дотянуться до ближайшей из двух игрушек. Младенцы и малыши еще больше развивают эти способности, когда они ползают или ходят, осознают свое окружение и думают о том, куда они идут. Они знают, где находятся в пространстве и как перемещаться из одного места в другое. В знакомых местах, таких как дома и школы, они обычно знают, где что находится и как добраться до того, что им нужно.Они узнают, что мяч находится близко к стулу, что кукла находится под стулом и что самый быстрый путь к стулу — пройти под столом. Они учатся использовать слова для описания позиций, местоположений и направлений. Когда они становятся старше, они используют блоки и другие объекты для создания симметрий, которые иногда бывают красивыми, например, творение, показанное на рис. 8.

Несмотря на то, что их повседневные пространственные представления часто бывают полезными (как в случае с перемещением по знакомому окружению) и иногда удивительно мощными (как в случае со сложными симметриями), маленьким детям еще предстоит многому научиться, и взрослые нуждаются в помощи при перемещении. вперед.Учителя и родители могут развить и расширить то, что маленькие дети уже знают о космосе. Взрослые могут помочь маленьким детям математизировать их повседневные представления о пространстве. Это включает в себя использование языка и различных представлений для описания и понимания пространственных идей.

Экспериментально-теоретический инструмент для изучения языка геометрических понятий

Аннотация

В этой диссертации я предлагаю конкретизировать взгляд Пиаже на детей как на «одаренных учеников» на детей как на «одаренных строителей языка», которые создают и изучают множество языков, чтобы уменьшить свою неопределенность в отношении мира.К ним относятся такие языки, как язык геометрии, язык музыки и ритма, даже ребенок, играющий с кубиками (например, LEGO), на самом деле изучает или, скорее, строит язык для себя. В качестве частного случая я представляю экспериментальную парадигму и инструмент Finding GoDot для изучения когнитивного языка геометрии. Используя вышеупомянутую линзу, я моделирую конструктивные действия как язык, особенно рассматривая задачу рисования фигур. Далее, большая часть этой диссертации посвящена проблеме вычисления энтропии и избыточности такого языка, для которого нет доступных языковых данных.Для этого я использую идею Шеннона о доступе к нашему неявному статистическому знанию структуры языка путем преобразования его в сокращенную текстовую форму с помощью эксперимента по прогнозированию. Я обобщаю план эксперимента Шеннона, чтобы сделать его применимым для самых разных языков, помимо текстовых, особенно для тех, для которых отсутствуют существующие языковые данные. Наконец, я вычисляю значения энтропии (средняя информация на букву) для отдельных форм, чтобы показать, что субъекты используют расширенную прямую модель для мысленного моделирования неполных форм, таким образом получая больше информации о лежащей в основе форме, чем она видна.Я также делюсь результатами по границам энтропии и избыточности предложенного языка действий для создания рисунков фигур.

Описание
Диссертация: С.М. Магистр инженерии и менеджмента, Массачусетский технологический институт, Программа системного проектирования и управления, 2018 г.

 

Диссертация: С.М., Массачусетский технологический институт, факультет электротехники и компьютерных наук, 2018 г.

 

Каталогизировано из версии диссертации в формате PDF.

 

Включает библиографические ссылки (стр. 65–66).

 

Отдел
Массачусетский Институт Технологий. Инженерно-управленческая программа; Программа проектирования и управления системой.; Массачусетский Институт Технологий. Комплексная программа проектирования и управления.; Массачусетский Институт Технологий. Кафедра электротехники и компьютерных наук

Издатель

Массачусетский технологический институт

Ключевые слова

Программа проектирования и управления. Программа проектирования и управления системами., Комплексная программа проектирования и управления., Электротехника и информатика.

Геометрический расчет конструкции (пружина 17)

Краткое описание

Геометрическое проектирование конструкций  предоставляет всестороннее введение в новые геометрические методы проектирования конструкций, основанные на двухмерной и трехмерной графической статике. Основное внимание в курсе будет уделено развитию общего понимания взаимосвязи между структурными формами в равновесии и геометрическому представлению их внутренних и внешних сил.Это соотношение будет использоваться в качестве основного аппарата при разработке провокационных структурных форм с использованием только геометрических методов, а не сложных алгебраических/числовых методов. Кроме того, особое внимание будет уделено материализации геометрии конструкции и надлежащим методам изготовления для создания сложной геометрии конструкции.

Обратите внимание, что этот курс основан на текущих исследованиях в области трехмерной графической статики и, следовательно, дает студентам возможность внести непосредственный вклад в текущие исследования в области геометрических методов проектирования конструкций.Требуется знание параметрического программного обеспечения, а умение писать код приветствуется. Особое внимание будет уделено созданию структурных моделей и тщательным структурным чертежам. Результаты курса будут выставлены в течение определенного периода времени после окончательного обзора в конце семестра. Кроме того, целеустремленным студентам будет предоставлена ​​специальная летняя исследовательская стипендия для создания структурного прототипа в масштабе один к одному на основе форм, разработанных в классе.

Методология

Курс разделен на пять последовательных частей с конкретными намерениями; Часть I познакомит с геометрическими принципами равновесия структурных форм; Часть II будет посвящена поиску структурной формы с использованием геометрических методов; Часть III будет сосредоточена на манипулировании геометрией структурной формы и ее силовой диаграммы для изучения различных архитектурных схем; Часть IV предоставит необходимые процедуры для ограничения формы и принудительных диаграмм в определенных местах и ​​управления граничными условиями; а в части V особое внимание будет уделено выбору материала и методам изготовления для создания сложных пространственных форм.

Цели

Таким образом, курс имеет следующие конкретные цели: (а) ввести понятие равновесия с использованием геометрических методов, расширяя взаимные отношения между элементами уравновешенной структурной формы и ее силовой диаграммы; (b) акцентировать внимание на использовании геометрии при проектировании сложных, но эффективных структурных форм и определении внутренних и внешних сил с использованием геометрических диаграмм; (c) упростить понимание сложных структурных концепций, используя геометрический язык вместо численных методов; и (d) исследовать различные материалы и методы изготовления для реализации пространственных структурных форм.